حل مساله کوله پشتی درجه دو با استفاده از برنامه ریزی پویا و آزادسازی نیمه معین

مساله ی کوله پشتی از رده مسایل تخصیص است که مقید به قید اندازه است. این مساله در حالت درجه دوم به ماکزیمم کردن تابعی درجه دوم تبدیل می گردد. تاکنون الگوریتم دقیقی برای این دسته از مسایل مطرح نشده است. از زمان معرفی این دسته از مسایل، تلاش ها بر روی بهبود تخمین و یا بدست آوردن عامل ثابتی از تقریب متمرکز شده است. کاربردهای متفاوت و بسیار این مساله هم در حوزه صنعت و هم به عنوان زیرمساله در مسایل دیگر، بر این تلاش ها افزوده است. در ضمن، ساختار خود مساله با توجه به فرمول بندی ساده و حل پیچیده آن، این دسته از مسایل را جذاب تر کرده است. مساله ی کوله پشتی بیش از یک قرن مورد مطالعه قرار گرفته و اولین بررسی آن به سال ‎1897‎ برمی گردد. هرچند اولین داده های ثبت شده در این مورد، به کارهای ریاضیدانی به نام دانتزیگ‎ منسوب است، شواهد نشان می دهد که مفهومی با عنوان مساله ی کوله پشتی قبلا در میان عامه ی مردم وجود داشته است. ‎ در سال ‎1988‎، تحقیقی از دانشگاه استونی بروک بر روی مجموعه ای از الگوریتم ها، نشان داد که از میان ‎75‎ مساله ی الگوریتمی، مساله ی کوله پشتی، هیجدهمین مساله ی معروف و چهارمین مساله ی پرکاربرد بعد از درخت کی دی‎، درخت پیشوندی‎ ‎ و مساله ی بسته بندی صندوق است ‎ این پایان نامه به بررسی مساله کوله پشتی درجه دوم می پردازد و فرایند این بررسی در چهار فصل به شرح زیر انجام می گیرد در فصل اول، ابتدا به تعاریف، مفاهیم و پیش نیازهای اولیه اشاره می شود. بعد از تعریف نوع مساله، به سراغ روش هایی خواهیم رفت که در این پایان نامه مورد توجه هستند. ابتدا مساله برنامه ریزی نیمه معین و مفهوم آزادسازی معرفی خواهند شد. سپس برنامه ریزی پویا و گام های آن مطرح می گردند. در انتها نیز بهینه سازی مقاوم تعریف خواهد شد. در فصل دوم، مساله برنامه ریزی نیمه معین و آزادسازی های آن به تفضیل مورد بررسی قرار می گیرند. در این فصل مقایسه ای بین این نوع آزادسازی و آزادسازی خطی صورت خواهد گرفت. ملاحظه می شود که حتی در حالتی که تابع هدف خطی است، آزادسازی نیمه معین برتری دارد. در ادامه، برای بهبود آزادسازی ها، صفحات برش معرفی می گردند. این صفحات برش به حالت درجه دوم تعمیم داده شده و در نهایت برای تقویت این صفحات روش هایی بیان می شود. در فصل سوم، روش برنامه ریزی پویا برای حل مساله کوله پشتی درجه دوم مطرح می گردد. در این فصل برای بهبود جواب، از روش صفحات بالایی که در مراجع ‎ عنوان شده است، استفاده می گردد. هم چنین، از یک اصلاحیه فنی که با تغییر در الگوریتم معرفی شده بدست می آید، بهره می گیریم تا جوابی نزدیک تر به جواب بهینه را بیابیم. در فصل چهارم، ابتدا به بحث مساله ی کوله پشتی خطی مقاوم می پردازیم . مسایل استاندارد با روش برنامه ریزی پویا به طور دقیق قابل حل هستند. سپس، مباحث بهینه سازی کوله پشتی خطی مقاوم را به مساله کوله پشتی درجه دوم تعمیم خواهیم داد.